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典明の切断

突然ですが「典明の切断」という言葉をご存知ですか?
え、ご存じない?マジで?
じゃあ名前だけでも覚えて帰ってくださいねー。って漫才師かッ!

いやー、お久しぶりです。
DS典明です。まみむめも。

ちなみに典明の切断はオレが作った言葉なので知らないのは当然です。
これは、まあ思考実験のようなものなのですが、言葉だけで説明するのは
難しいなーと思ってるところに何やらよいソフトに出会ってしまったので
約2年半ぶりに筆を執った次第というわけでございます。

そのソフトとはDesignSpark Mechanicalという3D CADです。
いろいろできるのに無料で使えちゃいます。すごい時代になったもんだ。
まあ、それはいいや。

メンガーのスポンジって知ってますか?
ジョジョの奇妙な冒険 第7部でチラッと出てきましたね。
下の図のような立体です。


ブツブツ苦手な人注意

おお・・・なんと・・・なんと美しい・・・

これは端的に言うと「規則的に穴を開けていった立方体」です。
作り方はとっても簡単。

 1.立方体の一つの面の真ん中を「えいや!」っと反対側まで押し出す。
 2.他の面に対しても同じことをする。
 3.残った立体を立方体に分割して、それらの立方体に対して1、2を行う。
 4.3を無限に行う。

ね、簡単でしょ?

で、このメンガーのスポンジの2次元版が
「シェルピンスキーのカーペット」というものです。
ちょうどメンガーのスポンジの各面と同じ形になります。


シェルピンスキーのカーペット

これらの図形はフラクタルと呼ばれています。
コッホ曲線とかマンデルブロ集合なんかが有名ですね。
フラクタルは自己相似という、図形の一部と全体とで
おんなじような形になる性質を持っています。
(というか、それをフラクタルという)


さて、そろそろ本題に入りましょうか。
典明の切断とは以下のような問いかけです。

『メンガーのスポンジの一つの面(とりあえず上の図の左下の面)と
 平行な面でメンガーのスポンジを切断したときに、
 どちらかの切り口がシェルピンスキーのカーペットになっている確率は?』


この例では切り口がシェルピンスキーのカーペットになっている

けっこう簡単なので続きを読む前にちょっと考えてみてください。

大ヒント:メンガーのスポンジの中にシェルピンスキーのカーペットは
      無限に存在しています。















解答です。

   確率は・・・・・・「0」です。

Ω ΩΩ< な、なんだってー!!


まあ、正確に言うと「ほぼ0」です。
おいおい、大ヒントで無限にあるって言ってたじゃないか!
あれは嘘だったのか!?

はい、ではなぜ0になるのか解説していきましょう。

こういう問題は数学的帰納法のように
単純な状態から徐々に複雑にしていくと答えが見えてくるものです。
というわけで、まずは下の図から考えます。


立方体

まあ、なんて簡単な図形でございましょう。
これをメンガーのスポンジ0段階目とします。
このとき、シェルピンスキーのカーペットは正方形となるので
どこで切ってもカーペットと同じ形になります。
つまり確率は「1」ですね。

じゃあ次は1段階掘り下げてみましょう。


最も単純なメンガーのスポンジ

これをメンガーのスポンジ1段階目とします。
このとき、シェルピンスキーのカーペットは四角いドーナッツのようになります。
で、下の図の黄色い部分で切るとこの形になりますね。


黄色いところはどこで切ってもOK

3分割した内の2箇所で切ればよいので、確率は2/3となります。

さらに1段階掘り下げてみましょう。


メンガーのスポンジらしくなってきた

これをメンガーのスポンジ2段階目とします。
このとき、シェルピンスキーのカーペットは・・・なんだか複雑な形になります。
これもカーペットと同じ形の部分を黄色で示すと、下図のようになります。


サンドイッチみたいになってきた

9分割した内の4箇所で切ればよいので、確率は4/9ですね。

もう1段階掘り下げてみますか。
だいぶ複雑な形になってきましたね。


メンガーのスポンジ3段階目

これをメンガーの (以下略


この図作るのけっこう大変でした

27分割した内の8箇所で切ればよいので、確率は8/27ですね。
ふぅー、疲れた ( ´Д`)=3


さて、ここらで一旦まとめてみますか。

  0段階目のときの確率は1でした。
  1段階目のときの確率は2/3でした。
  2段階目のときの確率は4/9でした。
  3段階目のときの確率は8/27でした。

・・・おわかりいただけただろうか?
少し言い換えてみましょう。

  0段階目のときの確率は(2/3)^0でした。
  1段階目のときの確率は(2/3)^1でした。
  2段階目のときの確率は(2/3)^2でした。
  3段階目のときの確率は(2/3)^3でした。

はい、もうわかりましたね?

  『 n段階目のときの確率は(2/3)^n 』 になります。

メンガーのスポンジとは、最初の方で説明しましたが
穴を開けるという作業を無限回繰り返します。
つまり n→∞ です。

∞段階目のときの確率は(2/3)^∞ですから、答えは「ほぼ0」となるのです。
以上、解説終わり。


図だけで見ても、黄色い部分がどんどん細くなっているのがわかりますよね?






数は2倍に増えてるけど、長さは1/3に

これを無限に繰り返すと黄色の部分は薄っぺらになっていくのが
容易に想像できると思います。
そんなペラッペラな部分を狙って切るのは至難の業ですよね。


それにしても、無限に存在するのに確率が0っていうのは
パラドックスみたいで面白いです。
有理数は無限にあるのに数直線を切ってみると全然当たらない、
っていうのと似てますね。

・・・ん?有理数・・・無限・・・切る・・・

( ゚д゚)ハッ!

デデキントの切断!
これデデキントの切断と似てる!
(実際にはあんまり似てな・・・ゲフンゲフン!)

ということで「デデキントの切断」をもじって「典明の切断」と名付けてみました。

【Web拍手】「典明の切断」が後世に残るといいなあ
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