3D CADで遊ぼう

復帰早々ブログ書かなくなってきたよ!
DS典明です。まみむめも。
最近はそんなにネタにすることもないしね。仕方ないね。

さて、相変わらず DesignSpark Mechanical で遊んでます。
とりあえず正多面体は全部作りました。基本ですね。


プラトンの立体とも言う

美しいですね・・・
小一時間くらい眺めていても飽きません。

ホントのこと言うと、正十二面体と正二十面体は正確ではありません。
正十二面体は立方体から切り出す方法で作成したのですが、
これには黄金比(無理数)を用いるためそこで若干の誤差が生じています。
詳しく言うと、辺の長さが1/10000くらいズレちゃっています。

正二十面体は正十二面体の頂点を切り落とす方法で作っているので
同じく辺の長さがズレています。

まあ、でも気づかないよね。そんなこと。

・・・今ブログ書きながら思ったけど、黄金比を計算させれば
ある程度精度出せるんじゃ・・・ふむ。
その内やってみるか。

他にもメンガーのスポンジの正四面体バージョンみたいなやつも作りました。
手順は次の通りです。


正四面体

まず正四面体を用意します。
んで、各辺の中点を結ぶような立体を取り除きます。


ガオン

実はこの空洞は正八面体になっています。
面白いですねえ。

正四面体が4つ残るので、それぞれまた正八面体をくり抜きます。


正四面体が16個に

それを繰り返すと・・・


ドッギャ―――z___ン !!

ちょっと気持ち悪いですねえ。

もう少し繰り返してGIFアニメにしてみました。


レベル0 ~ レベル8

なんか最後は細かすぎてよくわからないことに。

これの二次元バージョンはシェルピンスキーのギャスケットというのですが
三次元バージョンは特に名前がないみたいです。かわいそう。

どれかの面を下にして真上から見た画像はちょっとカッコいいです。


真上から見た図

なんか刺々しくて、シンメトリーでかっちょいい!
けど、レベルを上げると・・・


レベル8

何だこれは!
もはやこういう二次元のフラクタルにしか見えん!

いやー、面白い。
あ、ちなみに断面図は全然面白くなかったです。
メンガーのスポンジが特別なんでしょうか。


ところで、今のは正四面体から正八面体を取り除くという手順でしたが
逆に正八面体から正四面体を取り除くとどうなるでしょうか?


第五使徒

みんな大好きラミエルたん!じゃないよ。正八面体だよ。
わからない人はエヴァンゲリオンを見てね。

各面から正四面体をくり抜きます。


各辺の中点と立体の中心を結ぶ感じ

これを繰り返すとこうなります↓。


レベル0 ~ レベル6

全然わからないですね。
穴がないので向こう側が見えず、わかりにくくなっているんだと思います。

こちらも断面図は全然面白くなかったです。残念。


他にも何か面白い立体のフラクタルができないかと画策していますが
なかなか上手く行きませんね。難しいです。
空間充填できる立体を考えれば何かできそうですが、
まずその立体を作るところで苦労しています。
まあ、気長にがんばります。

【Web拍手】頑張れ頑張れできるできる絶対できる頑張れ気持ちの問題だ!

メンガーのスポンジの切断

トランプさんが大統領になって一瞬急激な円高になりましたけど
今ではウソのようにすっかり安定してますね。
案外こんなものなのか、嵐の前の静けさなのか、
楽しみと不安でいっぱいです。

意外と社会派!?
DS典明です。まみむめも。

さて、典明の切断を思いついたときに、同じような考えってすでにあるのかなー
と検索したのですが、特に見つからず自分の名前を冠したのですが
代わりに面白いものを見つけました。

それがコチラの「メンガースポンジ・レベル2の切断面」というものです。
(表題はレベル2と言っていますが、どう見てもレベル1だし
本文中でもレベル1と書いてるのでおそらく誤記だと思われます。)

メンガーのスポンジを斜めに切っているのですが、
切断面がスリーダイヤ(三菱のマーク)になったり
正六角形の中に六芒星が現れたりと、とても綺麗な形になっています。

ほえ~、おもしろいなあ。
でもこれレベル1だからレベルをもっと上げたらどうなるんだろう。
『「思い立ったが吉日」ならその日以降はすべて凶日』
というわけでレベル3でやってみた。

こういうのは3D CADの得意分野です。
現実には作るのさえも苦労するメンガーのスポンジをバンバン切っていくよー。

まずはスリーダイヤから。


レベル3をバッサリ

ただの立方体ではこういう切断は中学か高校の数学でやりますよね。
体積とか高さを求めるのは高校かな。

それはいいとして。
切断面がコチラ↓。


スリーダイヤがいっぱい

おおう、こうなるのか。
なるほど。正三角形を9個に分割して真ん中の3個を取り除く、
という操作を繰り返した形になるんですね。
一回の操作で面積が2/3倍されるので、繰り返すと面積が0に収束すると。

考えてみれば当たり前のことですが、立体のフラクタルを切ると
平面のフラクタルが現れるんだな。
面白い!

次は六芒星行ってみよー。






お星様がいっぱい

まあ、キレイ。
こっちは正六角形の真ん中から六芒星をくり抜く、というルールみたいですね。
うまいこと正六角形が6個残るんですね。

これ以外にもなんか綺麗な切断面現れないかなあ、
と思って試してみました。


どんな切断面か予想してみて

内側の空洞の頂点で正三角形を作るような切断面。
この切り方だと正三角形がいっぱいできるのかな。

じゃあ答えを見てみましょう。


なんとも説明が難しい形

うーん、どういうルールでこうなるのか今一わかりませんね。
元は大きい三角形と考えてスリーダイヤを抜いていくのか?
でもそれだと真ん中の大きな三角形の空洞が説明できないし。
わからん。


一見中途半端な切断位置

これはメンガーのスポンジ1段階目でできた空洞の中点を通るような・・・
って説明がめんどくさい!
とにかくそういう切断。


スリーダイヤと六芒星のコラボ?

真ん中にスリーダイヤ見たいな穴があって、
周りに六芒星のかけらみたいなものが3つあって、
その中に六芒星がいっぱいある。
そんな図形。

他にもいろいろ試したのでざっと紹介しておきます。
(辺と平行な切断は全く面白くなかったので割愛。)


立体の対角と横の辺の中点を通るような切断面


上面の対角線と下の辺の中点を通るような切断面


本当にランダムな位置での切断面

うーん、最初の2つが一番綺麗ですね。
じゃあレベル4でこの切断面を見てみようかな。

(※蓮コラのようなものが出てくるので苦手な人は注意。)

あけましておめでとうございました

11月4日のWeb拍手のメッセージ。
>>21:52 更新されるとは!

いや、むしろ更新チェックしてる人がいるとは!

見てくれるのもコメントしてくれるのも嬉しいことです。
ありがたや、ありがたや。
DS典明です。まみむめも。

さて、オレは2010年から毎年年賀状にぷよぷよの連鎖を載せていました。
ブログでも紹介していましたね。
トラ連鎖う連鎖タツ連鎖巳連鎖と午連鎖です。

で、2015年は未連鎖を作りました。
それがコチラ。


画像をクリックするとシミュレータサイトに飛ぶよ

赤ぷよで「未」と描かれています。
文字としても悪くないし、連鎖もなかなかおもしろいのではないでしょうか。

そして今年2016年は・・・

・・・実は家族に不幸があり年賀状を出していませんでした。
でも実は連鎖作ってあったし12年も待てないので、ここで紹介しちゃいます。
はい、ドーン。


画像をクリックするとシミュレータサイトに飛ぶよ

赤ぷよで「サル」と描かれています。

え、見えない?
心の目で見るのじゃ!

モーゼの奇跡のように真ん中を割っていくところが見どころです。

さて、これで残すは「酉」「戌」「亥」「子」「丑」の5個ですね。
全部揃ったら十二支連鎖としてまとめて記事にしましょうかね。

【Web拍手】そのときは2021年か・・・ブログ続いてるかな・・・

典明の切断

突然ですが「典明の切断」という言葉をご存知ですか?
え、ご存じない?マジで?
じゃあ名前だけでも覚えて帰ってくださいねー。って漫才師かッ!

いやー、お久しぶりです。
DS典明です。まみむめも。

ちなみに典明の切断はオレが作った言葉なので知らないのは当然です。
これは、まあ思考実験のようなものなのですが、言葉だけで説明するのは
難しいなーと思ってるところに何やらよいソフトに出会ってしまったので
約2年半ぶりに筆を執った次第というわけでございます。

そのソフトとはDesignSpark Mechanicalという3D CADです。
いろいろできるのに無料で使えちゃいます。すごい時代になったもんだ。
まあ、それはいいや。

メンガーのスポンジって知ってますか?
ジョジョの奇妙な冒険 第7部でチラッと出てきましたね。
下の図のような立体です。


ブツブツ苦手な人注意

おお・・・なんと・・・なんと美しい・・・

これは端的に言うと「規則的に穴を開けていった立方体」です。
作り方はとっても簡単。

 1.立方体の一つの面の真ん中を「えいや!」っと反対側まで押し出す。
 2.他の面に対しても同じことをする。
 3.残った立体を立方体に分割して、それらの立方体に対して1、2を行う。
 4.3を無限に行う。

ね、簡単でしょ?

で、このメンガーのスポンジの2次元版が
「シェルピンスキーのカーペット」というものです。
ちょうどメンガーのスポンジの各面と同じ形になります。


シェルピンスキーのカーペット

これらの図形はフラクタルと呼ばれています。
コッホ曲線とかマンデルブロ集合なんかが有名ですね。
フラクタルは自己相似という、図形の一部と全体とで
おんなじような形になる性質を持っています。
(というか、それをフラクタルという)


さて、そろそろ本題に入りましょうか。
典明の切断とは以下のような問いかけです。

『メンガーのスポンジの一つの面(とりあえず上の図の左下の面)と
 平行な面でメンガーのスポンジを切断したときに、
 どちらかの切り口がシェルピンスキーのカーペットになっている確率は?』


この例では切り口がシェルピンスキーのカーペットになっている

けっこう簡単なので続きを読む前にちょっと考えてみてください。

大ヒント:メンガーのスポンジの中にシェルピンスキーのカーペットは
      無限に存在しています。



プロフィール

DS典明

Author:DS典明
左:Sigrun(元Tiamet)在住
Double=Screen=典明
右:きみょうな村在住
DSのりあき

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